Элементы алгебраической динамики

Курс посвящен введению в математическую теорию построения генераторов псевдослучайных последовательностей (ПСГ) применительно к синтезу поточных шифраторов и вопросов защиты информации в вычислительных системах и сетях. ПСГ - суть автономный автомат, который, на самом деле, является автономной p-адической динамической системой.

В самом общем виде, динамика – раздел математики, изучающий действия полугруппы H на фазовом пространстве \mathbb S, которое является измеримым, т.е. \mathbb S наделено мерой \mu, и H действует на \mathbb S преобразованиями, которые измеримы относительно меры \mu. Часто предполагается, что \mathbb S наделено также метрикой \rho, и H действует преобразованиями, непрерывными относительно метрики \rho. Говоря об алгебраической динамике, дополнительно предполагают, что пространство наделено не только метрикой и мерой, но и обладает алгебраической структурой (т.е. \mathbb S является универсальной алгеброй).

p-Адические динамические системы представляют собой один из разделов алгебраической динамики – динамики на алгебраических системах (полях, кольцах, группах) со структурой проективного предела. Структура проективного предела, в свою очередь, порождает ультраметрическую топологию. Практический интерес, в частности в криптографии, представляют автоматы и автоматные отображения. Автоматы (синхронные и асинхронные) можно рассматривать как алгебраические динамические системы на кольце Z_{p} целых p-адических чисел, которое, на самом деле, является проконечной алгеброй со структурой проективного предела: кольцо Z_{p} может быть представлено как проективная система колец вычетов Z/{p^n}Z, n=1,2,\ldots; а, автоматные отображения, в свою очередь, как непрерывные преобразования пространства Z_{p} относительно p-адической метрики. Важнейшими характеристиками динамики являются ее эргодичность и сохранение меры. Для синтеза ПСГ как раз и используются именно эргодические и сохраняющие меру отображения.